Зря вы связались с отдельными компонентами x и y, лучше выписывать зависимости в общем параметрическом виде прямо в точках пространства P = {x, y, ...} в виде зависимости P = P(t).
Тогда все будет выражаться не в углах и весах, а в полиномах, их производных и координатах узловых точек.
Полином для производной по t даст направление касательной в каждой точке кривой.

Как только будет понятно какой вид кривых Вы рисуете (Безье, NURBS, В-сплайны или др.), можно будет помочь с вычислением интересующих параметров.

На самом деле концепция времени достаточно проста:



Путём нехитрых манипуляций по удалению лишних временных размерностей получаем следующую модель:



Далее избавляемся от времени вовсе:



На данном этапе имеем двумерное пространство, где нам досаждают углы и длины векторов. У нас уже есть опыт избавления от ненужных осей пространства, поэтому с лёгкой душой отсекаем всё лишнее (да, мы не только хорошие программисты, но и скульпторы тоже).  Всё сворачивается в нулевое пространство:



Нет пространства - нет проблем. Задача решена, можем расходиться на выходные.

...

Или нет?

Сингулярность может породить альтернативную вселенную. Она даже может переплетается с нашей вселенной:



В этой вселенной человечество уже  сталкивалось с подобными задачами и успешно их решало. Доказательством этого могут послужить различные графические редакторы, которые работают с такими кривыми (за альтернативную вселенную мы точно про существование таких редакторов не знаем, но можем предполагать, что они таки там есть). Возможно то человечество умеет работать с проекциями. Одно можно утверждать совершенно точно: человечество в альтернативной вселенной намного ответственней, чем в нашей. Научные работники (как старшие, так и младшие) сидят на своих рабочих местах и корпят над решением глобальных проблем вселенной (как своей, так и других). Аспиранты им в этом усердно помогают: строят сечения и проекции многомерных пространств, и ломают голову, как из нулевого пространства развернуть хотя бы трёхмерное. Собачки понимают ответственность своей вселенной перед другими и сами себя выгуливают. Заодно приносят горячие обеды и бутерброды для перекуса своим хозяевам.

Есть ли в этой альтернативной вселенной Igors? Наверняка есть, эту задачу уже решил и теперь спешит к своему побратиму на помощь:



Igors в нашей вселенной остаётся только написать правила преобразования координат между пространствами различной размерности. Чтобы из нулевого пространства, порождённого сингулярностью чёрной дыры из альтернативной вселенной, "распаковать"  пространство достаточной размерности, в котором альтер Igors сможет показать решение поставленной задачи настоящему Igors.

Кстати. Если есть комната-библиотека, самое время туда заглянуть, может решение там уже есть:



Решение может быть в бинарном виде, но мыжпрограммисты!

ViTech, спасибо за красочный пост, мне тоже понравилось. Общение с научными работниками вообще интересно, иногда узнаю много нового, часто ловлю себя на мысли "да я же это знал" (но не понимал). Но увы, к решению практической задачи это никак не приближает. Не, я вовсе не хочу сказать что они - бездельники, проедающие гранты (популярное мнение) - но толку никогда не было, и, видимо, не будет.  

Воспользоваться "готовыми проверенными решениями" - а он, ленивец, не хочет гуглу открыть! Это всего лишь "удобное объяснение", в таких ситуациях шансов найти что-то стоящее немного - задачка "не так популярна".

И вообще, верна ли постановка? Ведь если нет - то любые поиски ничего не дадут. И еще вполне возможный вариант - решается простейшими школьными знаниями. Хорошо, зафиксируем weight и пусть он одинаков для X и Y, т.е. драг юзера меняет только angle(s). Опять все элементарно, углы вычисляются через asin или atan(2). Значит как минимум одно решение уже есть - сделать один драг для углов, другой (с зажатой клавишей - а шо делать) для весов. Это конечно не очень удобно, хотелось бы обойтись одним. Но возможно ли?

Все-таки странно что такие простейшие соображения не приходят в голову(?) людям занятыми глобальными проблемами и чьи знания в 100 раз больше. Ладно, (тактично) предположим они слишком увлечены своими делами  

Есть и такое, это кривая "по умолчанию" которая автоматом подстраивается когда юзер двигает сами контрольные точки. Конечно "usable", но, ясно, не всегда устраиваетю

Да, здесь задача стоит именно так.

Тут я Вас не понял. См аттач, обычный кубический Безье. Всего 4 точки, 2 из них лежат на самой кривой (контрольные/узловые), 2 других "управляющие"(точки на концах синего вектора). Юзер может двигать любую из них НО это вовсе не меняет другие автоматом. Напр изменение управляющей точки изменит только ее саму, изменение узловой - не изменит вектор узловая-управляющая (он просто будет сдвинут). Здесь узловые задаются углом + весом, т.е. по сути все то же.

А что здесь "аналитическая форма"? Как вычисляются начальные вектора: Ну так это всего лишь default, дальше юзер меняет его как угодно.

Рисование кривой (значение от времени): находится сегмент кривой, для него есть 4 точки, первая и последняя - сами контрольные точки кривой, 2 другие - управляющие (синий вектор). Время приводится к относительному: t = 0 первая точка, t = 1 последняя. Дальше так (псевдокод)

C++ (Qt)
double k[4];
Calculate(t, k);
return p0.value * k[0] + p1.value * k[1] + p2.value * k[2] + p3.value * k[3];
 

Собсно вся "аналитика" в ф-ции Calculate - как считать коэффициенты сплайна, углубляться в нее необязательно. И все хорошо, юзер может менять value для X, Y и Z на отрисованном пути, но каким angle+weight это соответствует для каждой компоненты? Ведь нужно предъявить не только путь, но и график каждой от времени.

Думал взять производную в начальной и конечной точках (это ведь и есть тангенс угла). Но тогда что делать с weight (вес один на всех)?

Та же проблема возникает и при другом раскладе. Для Безье сплайна нет "угол + вес", а есть просто "вектор". И опять хз как рисовать "компоненту от времени".

[off]ssoft, меня порадовал Ваш ответ. Уже думал типа "что толку постить? Ото увидело "atan2" и убежало саттера читать". Ан нет, есть нормальные люди![/off]

Вот еще).
Параметрический вид Вашей кривой наверное такой.

Для каждого сегмента кривой есть 4 точки. При изменении юзером любой из них все остальные остаются неизменны, меняется лишь кривизна сегмента (см примеры в аттаче). Я могу рисовать синие вектора как на параметрических графиках x(t), y(t), z(t), так и на пути в 3D окне (для простоты на плоскости XOZ, здесь принципиальной разницы 2D и 3D нет). Все рисуется корректно НО мне надо интерактивно редактировать и там и сям - а я не сообразю как это делать

Для пути используется только значение компонент(ы). Для параметрического графика - значение и время t (то же самое выражается углом + длиной). Имея "только значение" (для Безье) я могу спокойно редактировать кривизну пути, но как отразить эти изменения в параметрическом графике? А имея угол+вес (для F-Curve) - как я должен их менять при редактировании пути?

Да наверняка есть и такой, там сплайнов целая свора, и, конечно, не я их писал. Все эти длинные сопли формул я имею - ну и что с ними делать?

Еще вариант, если компоненту "время" ввести в точку к пространственным координатам.
Тогда любой график - это двумерная проекция (или отдельный сплайн) одной пространственной координаты и времени.
И не нужно никаких весовых коэффициентов, можно обойтись чистым Безье.

Остается только для нужного времени вычислить значение параметра, с помощью аналитического решения кубического уравнения.