Брать путь возвращаемого файла, сохранять, при следующем запуске указывать его в параметре dir этой функции.

QString QFileInfo::absoluteFilePath() const

QString QFileDialog::getOpenFileName(QWidget * parent = 0, const QString & caption = QString(), const QString & dir = QString(), const QString & filter = QString(), QString * selectedFilter = 0, Options options = 0) [static]

Вряд ли. Диалог показывает текущую для ОС, Qt ее устанавливает, а былдер нет. Впрочем нсли былдер лучше - так назад к нему 

Если речь про венду, то и храните его не в файла, а в реестре. См. QSettings.

Если вызвать диалог так:

C++ (Qt)
full_fname = QFileDialog::getOpenFileName(this, tr("Open File"), "." , tr("*"));

У меня сохраняется последний открытый путь. Не факт, что он устанавливается для конкретного приложения.

Даже если закрыть программу и открыть вновь?
А ТС хочет именно этого.

Не, эта точка в кавычках "." чуда не совершила. Каждый раз при вызове "открыть файл" открывается папка с ехешником, даже если и не выходить из программы. Вызов производится при нажатии кнопки:

C++ (Qt)
// нажтие кнопки Open File
// ********************************************************************
// ********************************************************************
void Widget::MyEventButton_1()
{
    full_fname = "";
 
    // диалог выбора файла
    full_fname = QFileDialog::getOpenFileName(this, tr("Open File"), "." , tr("*"));
                                                           //"C:/Users/Alexu/Desktop/", tr("*"));
 
    ui->label_1->setText("Fname:  " + full_fname);
 
    return;
}

Такое у меня было - правда на совсем др платформе и версии Qt. Решил давая несуществующий путь напр "path does not exist". Но это помогает только если не выходить.