Я думаю картинка слишком большая.
Если я понял то что увидел в горстке пикселей то банально выводи все строки в которых есть искомая подстрока. Банально до предела.

Ясно хочешь получить готовое вместо того чтоб немного подумать.
Не проверял но должно работать:

C++ (Qt)
QStringList intuitiveSearch(QStringList list, QString text)
{
    QStringList result;
    for (int i=0; i<list.count(); i++)
        if (list.at(i).contains(text, Qt::CaseInsensitive))
            result.append(list.at(i));
    return result;
}

Какие будут вопросы, такие и ответы.
Все зависит от базы данных, но в общих чертах:

SQL
SELECT name FROM my_table WHERE name LIKE('%search_text%');

Ну так я и в моих ответах вообще ничего сложного нету. А вот как тебе могут помочь если ты пишешь не подробный вопрос. Надо было сразу начинать с того что данные у тебя в базе, упомянуть какая база данных, как ты с ней взаимодействуешь, на чем пишешь =).

вот связь

QObject::connect(ui->lineEdit,SIGNAL(textEdited(QString s)), this, SLOT(QuickSearch(QString s)));

вот запрос

    query.prepare("SELECT name  FROM moon WHERE name LIKE ? LIMIT 10");
    query.addBindValue(QVariant(ui->lineEdit->text() + "%"));
    query.exec();


как теперь работать с QCompleter? собственно нужен сам вывод на экран и при выборе размещение выбранного в lineEdit

как я поняла вы хотите сказать что правильнее так?

QObject::connect(ui->lineEdit,SIGNAL(textEdited(QString)), this, SLOT(QuickSearch(QString)));

может лучше вы расcкажbте как пользоваться QCompleter?