Ахз. Я лично плюнул на это дело и взял питоновский фреймворк для этих дел

На моем опыте поясню.
Сайт - там страничка генерится javascript'ом, т.е. джава меняет html.
Загружая гетом  - мы получаем пустую страницу с скриптом java.
Теперь надо, чтобы он выполнился и создал нормальную страницу, но тут закавыка. Отдельно от webView java не исполняется. Можно конечно взять и создать page, засунуть туда скрипт, но это работать не будет (ну я так думаю, ведь куков нет и прочих плюшек, они создаются WebView).

Добавлю - нет, нельзя. Опять таки на моём печальном опыте - там на сайте накручено около 8-9 подгружаемых скриптов со своими переменными, проверками и прочей фигней. Я лично сдался на 3 странице из 20

PS хотя это по вашему сайту смотреть надо. Если джава не используется в качестве движка, то вполне возможно куку скопировать просто.